求极限考研题(求极限考研题)

解：要m取适当的值，使lim(x→∞)[(x^α+8x^4+2)^m-x]，又α≥5，∴(x^α+8x^4+2)^m展开式中次数的最高项与x是同阶量，才能保证极限存在。故，mα=1时，即m=1/α时，所求极限存在。∵当x→∞、α≥5时，(x^α+8x^4+2)^(1/α)~(x^α+8x^4)^(1/α)=x[1+8x^(4-α)]^(1/α)，其中x^(4-α)是无穷小量，由广义二项展开式，有x[1+8x^(4-α)]^(1/α)=x{1+(1/α)[8x^(4-α)]+(1/α)(1/α-1)/(2!)[8x^(4-α)]^2+o([x^(4-α)]^2)}，∴(x^α+8x^4+2)^(1/α)-x={(1/α)[8x^(5-α)]+(1/α)(1/α-1)/(2!)x[8x^(4-α)]^2+o([x^(4-α)]^2)}。∴α=5时，其极限为8/5；当α>5时，其极限为0。供参考。

左边可导，右边也可导，

求导得 f(x)＝f[θ(x)]＋xf'[θ(x)]θ'(x)，

令 x→0，

左边极限存在且等于 f(0)，

因此右边极限存在，

后一项极限为 0，

所以可得 lin(x→0) θ(x) ＝ 0。

选 A